welkom

De afbeelding hiernaast toont de formule die Benoit Mandelbrot in de jaren 80 van de vorige eeuw heeft ontdekt, in zijn eigen handschrift. Samen met de opkomst van de computer was dit de start van een stroom van ontwikkelingen op het gebied van fractals. O.a de huidige programma’s om fractals te maken zijn hierop gebaseerd. De formule op zich is alleen een wiskundige beschrijving, mooi in zijn eenvoud, maar ze toont niet de wondere wereld die er in verscholen ligt en vooral tot uitdrukking komt in een grafische weergave. Op deze website wil ik zowel die wiskundige basis inzichtelijk maken als de veelheid aan vormen en kleuren tonen die deze formule mogelijk maakt. Beide aspecten interesseren mij zozeer dat ik het plan heb opgepakt om de website nieuw leven in te blazen.

de fractal

Elke kleur van elke pixel van de fractal (hiernaast) is berekend. In zekere zin is dit altijd het geval als het om een digitaal plaatje gaat. Bij fractals echter is de keuze of een bepaalde pixel (in geval van de fractal hiernaast) geel dan wel  transparant moet zijn, een beslissing op basis van een reeks berekeningen. In een plaatje van 600 x 600 pixels betekent dit 600 x 600 = 36000 beslissingen.

Het criterium voor de beslissing is het gedrag van de uitkomsten van de formule. De uitkomsten worden ofwel steeds groter ofwel blijven ze onder een kritische of maximale waarde. Alle pixels die niet ontsnappen naar oneindig hebben de kleur geel gekregen. Hoewel de berekeningen op zich niet super ingewikkeld zijn heb je toch een computer nodig vanwege het grote aantal. Hoewel de fractals over het algemeen in het platte vlak worden afgebeeld, is er inmiddels een aantal software programma’s om ze ruimtelijk, in een 3D ruimte weer te geven.

de plaatjesde theorie

de betekenis

“Achter elke formule schuilt veel denkwerk, maar er is nog nooit een formule geweest die een idee of gedachte heeft voortgebracht.”
 
De vraag is wat we nu moeten met al die fractals en formules? Wat blijft er over van fractals en de formules als je over de wiskunde heen kijkt? Kan dat überhaupt? Welke relatie of relaties bestaan er dan nog tussen fractals en welke aspecten van de werkelijkheid? Wiskundig gezien zijn fractals al behoorlijk uitgediept, maar is dat alleen maar interessant voor wiskundigen of hebben we er ook in de praktijk iets aan? Als dat al het geval is, waarvan geeft dan een fractal of een fractal-achtige formule, de beschrijving? Een poging.
de theorie